Question

已知圆C₁的方程为(x－2)²+(y－1)²=，椭圆C₂的方程为，C₂的离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，试求：

  （I）直线AB的方程；          

  （II）椭圆C₂的方程.

Answer 1

（I）由e=，得=，a²=2c²,b²=c²。                      

 设椭圆方程为+=1。又设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)。由圆心为(2,1)，得x₁+x₂=4,y₁+y₂=2。

 又+=1，+=1，两式相减，得 +=0。

 ∴                                       

∴直线AB的方程为y－1= －(x－2)，即y= －x+3。         

（II）将y= －x+3代入+=1，得3x²－12x+18－2b²=0

 又直线AB与椭圆C₂相交，∴Δ=24b²－72>0。             

 由|AB|=|x₁－x₂|==,

 得·=。

解得  b²=8，                                          .

故所求椭圆方程为+=1                            .