Question

已知，点.
（Ⅰ）若,求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数的导函数满足：当时，有恒成立，求函数的解析表达式；
（Ⅲ）若，函数在和处取得极值，且，证明： 与不可能垂直。

Answer 1

（1）的增区间和；（2）；（3）同解析。

(Ⅰ) ,
令得，解得
故的增区间和
（Ⅱ）(x)=
当x∈[-1，1]时，恒有|(x)|≤. 
故有≤(1)≤，≤(-1)≤，
及≤(0)≤,
即             
①+②，得≤≤， 又由③，得=，将上式代回①和②，得故.
（Ⅲ）假设⊥，即= 
故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)="-1      " [st-(s+t)a+a²][st-(s+t)b+b²]=-1,
由s，t为(x)=0的两根可得，s+t=(a+b), st=, (0<a<b)
从而有ab(a-b)²=9.
这样
即 ≥2，这与<2矛盾.   
故与不可能垂直.