Question

关于函数f（x）=4sin（πx+

π

3

），x∈R，有下列结论：
①对任意的x∈R有f（x+2）=f（x）；
②y=f（x）在区间[0，1]上的最大值为4；
③y=f（x）的图象关于点（-

1

3

，0）对称；
④y=f（x）的图象关于x=

π

6

对称；
⑤将函数f（x）的图象按向量

a

平移后得到的图象关于坐标原点对称，则向量

a

的坐标可能为（

1

3

，0）
其中正确的结论是

 

（写出所有符合要求的序号）

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：首先对函数解析式进行变换，结合选项进行对比，结合函数的性质对对称轴、对称中心、最值、及向量的平移问题进行分析，求出具体答案．

解答： 解：函数f（x）=4sin（πx+

π

3

）=4sin[π（x+2）+

π

3

]
∴T=2 对任意的x∈R有f（x+2）=f（x） 
故：①正确
∵0≤x≤1∴

π

3

≤πx+

π

3

≤

4π

3

 
∴y=f（x）在区间[0，1]上的最大值为4．
故：②正确
∵函数f（x）=4sin（πx+

π

3

）=4sin[π（x+

1

3

）]
∴将函数f（x）的图象按向量

a

平移后得到的图象关于坐标原点对称，则向量

a

的坐标为（

1

3

，0）
故：⑤正确
∵函数f（x）=4sin（πx+

π

3

）当x=

1

6

函数取得最大值．
∴y=f（x）的图象关于x=

1

6

对称 
故：④错误
故选：①②③⑤

点评：本题考查的知识点：正弦型函数的对称轴、对称中心、最值、及函数的平移问题，属于基础题型．