Question

16．若0＜α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，sin（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则cos（α-$\frac{β}{2}$）=（　　）

• A． -$\frac{{\sqrt{6}}}{9}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{9}$
• C． -$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+$\frac{π}{4}$）和cos（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（α-$\frac{β}{2}$）的值．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，sin（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cos（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（\frac{β}{2}+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则cos（α-$\frac{β}{2}$）=cos[（α+$\frac{π}{4}$）-（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）]=cos（α+$\frac{π}{4}$）cos（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）+sin（α+$\frac{π}{4}$）sin（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{3}$•（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
故选：B．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．