Question

已知函数f（x）=

x

1+x2

，x∈（0，1）．
（1）设x₁，x₂∈（0，1），证明：（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]≥0；
（2）设a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，求u=

3a2-a

1+a2

+

3b2-b

1+b2

+

3c2-c

1+c2

的最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），判断f′（x）的符号，得到f（x）在（0，1）上是增函数，所以x₁-x₂≥0时，f（x₁）-f（x₂）≥0，所以（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]≥0；
（2）根据（1），u=f（a）（2a-b-c）+f（b）（2b-c-a）+f（c）（2c-a-b）=f（a）[（a-b）+（a-c）]+f（b）[（b-c）+（b-a）]+f（c）[（c-a）+（c-b）]=（a-b）[f（a）-f（b）]+（b-c）[f（b）-f（c）]+（c-a）[f（c）-f（a）]≥0，所以u的最小值为0．

解答： 解：（1）x∈（0，1）时，f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

＞0；
∴函数f（x）在（0，1）上单调递增；
∴设x₁，x₂∈（0，1），不妨设x₁≤x₂，则f（x₁）≤f（x₂）；
∴（x₁-x₂）[f（x₁-f（x₂）]≥0；
（2）∵a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1；
∴a，b，c∈（0，1）；
∴由（1）及a+b+c=1得：u=f（a）（2a-b-c）+f（b）（2b-c-a）+f（c）（2c-a-b）
=f（a）[（a-b）+（a-c）]+f（b）[（b-c）+（b-a）]+f（c）[（c-a）+（c-b）]
=（a-b）[f（a）-f（b）]+（a-c）[f（a）-f（c）]+（b-c）[f（b）-f（c）]≥0；
∴u的最小值为0；

点评：考查根据导数符号判断函数单调性的方法，函数单调性的定义，对于第二问想着用上第一问的结论即可．