Question

已知数列{b_n}是等差数列，b₁＝1，b₁＋b₂＋…＋b₁₀＝145.
(1)求数列{b_n}的通项公式b_n；
(2)设数列{a_n}的通项a_n＝log_a(其中a＞0且a≠1)．记S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与log_ab_n＋1的大小，并证明你的结论.

Answer 1

（1）b_n＝3n－2.（2）当a＞1时，S_n＞log_ab_n＋1，当0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n＋1

(1)设数列{b_n}的公差为d，
由题意得?∴b_n＝3n－2.
(2)由b_n＝3n－2，知S_n＝log_a(1＋1)＋log_a＋…＋log_a
＝log_a
而log_ab_n＋1＝log_a，于是，比较S_n与log_ab_n＋1的大小?比较
(1＋1)与的大小.
取n＝1，有1＋1＝>＝，
取n＝2，有(1＋1)>>＝.
推测(1＋1)…＞，(^*)
①当n＝1时，已验证(^*)式成立；
②假设n＝k(k≥1)时(^*)式成立，即(1＋1)＞，
则当n＝k＋1时，
(1＋1)>.
∵－＝>0，∴，
从而(1＋1)，即当n＝k＋1时，(^*)式成立．由①②知(^*)式对任意正整数n都成立．于是，当a＞1时，S_n＞log_ab_n＋1，当0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n＋1