Question

已知函数
（Ⅰ）若函数在其定义域上为单调函数,求的取值范围；
（Ⅱ）若函数的图像在处的切线的斜率为0，，已知求证：
（Ⅲ）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明理由.      

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）<.

试题分析：（Ⅰ）利用导数求解单调性，把恒成立转化为最值；（Ⅱ）可用数学归纳法来证明；（Ⅲ）通过放缩法来解决与的大小比较问题.
试题解析：(Ⅰ) ∵f(1)="a-b=0" ∴a=b
∴
∴
要使函数在其定义域上为单调函数，则在定义域（0，+∞）内恒大于等于0或恒小于等于0，
当a=0时，在（0，+∞）内恒成立；
当a>0时， 恒成立，则∴
当a<0时， 恒成立
∴a的取值范围是:       5分
(Ⅱ)   ∴a=1   则：
于是
用数学归纳法证明如下：
当n=1时，，不等式成立；
假设当n=k时，不等式成立，即也成立，
当n=k+1时，
所以当n=k+1时不等式成立，
综上得对所有时，都有         10分
（Ⅲ）由（2）得

于是
所以 ，
累称得：则
所以    13分