Question

设函数对任意实数x 、y都有，
（1）求的值；
（2）若，求、、的值；
（3）在（2）的条件下，猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明。

Answer 1

（1）0       （2）4，9，16         （3）

试题分析：（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0⇒f（0）=0
(2）f（1）=1， f(2)=f(1+1)=1+1+2=4  f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9  f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16  
（3）猜想f（n）=，下用数学归纳法证明之．
当n=1时，f（1）=1满足条件
假设当n=k时成立，即f（k）=
则当n=k+1时f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=+1+2k=（k+1）
从而可得当n=k+1时满足条件
对任意的正整数n，都有 f（n）=
点评：本题目主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，及数学归纳法在证明数学命题中的应用，及利用放缩法证明不等式等知识的综合．