Question

【题目】(2015·新课标I卷）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi=1;2…8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中wi=，=
（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x ， y的关系为z=0.2y-x，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=90时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2)，……，(un,vn),其回归线v=的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

Answer 1

【答案】
（1）

y=c+d适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型。

（2）

=100.6+68

（3）

46.24

【解析】(I)由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数;(II)令w=,先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程;(III) : (i) 利用y关于x的回归方程先求出年销售量y预报值，再根据年利率z与x,y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值，(ii) 根据(II)的结果知，
利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.
试题解析:(I)由散点图可以判断，y=c+d适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型。
(II)令w=,先建立y关于w的线性回归方程，由于
∴
∴y关于w的线性回归方程为=100.6+68w, ∴y关于x的回归方程为=100.6+68.
(III)(i)由(II)知，当x=49时，年销量y的预报值,=100.6+68=576.6，=576.6x0.2-49=66.32 (ii)根据(II)的结果知，年利润z的预报值
=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12,∴ 当==6.8，即x=46.24时，取得最大值。
【分 析】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设 出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可 求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.