Question

【题目】(2015·四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.

（1）请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（2）证明：直线MN∥平面BDH。
（3）求二面角A-EG-M的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）

点F、G、H的位置如图所示.

（2）

见解析。

（3）

【解析】（1）
点F、G、H的位置如图所示.

（2）连结BD，设O为BD的中点.

∵BC的中点为M、GH的中点为N，
∴OM∥CD，OM=CD，
HN∥CD，HN=CD，
∴OM∥HN，OM=HN，
即四边形MNHO是平行四边形，
∴MN∥OH，
∵MN平面BDH；OH面BDH，
∴直线MN∥平面BDH；
（3）连接AC，过M作MH⊥AC于P，

则正方体ABCD﹣EFGH中，AC∥EG，
∴MP⊥EG，
过P作PK⊥EG于K，连接KM，
∴EG⊥平面PKM
则KM⊥EG，
则∠PKM是二面角A﹣EG﹣M的平面角，
设AD=2，则CM=1，PK=2，
在Rt△CMP中，PM=CMsin45°=，
在Rt△PKM中，KM==，
∴cos∠PKM=，
即二面角A﹣EG﹣M的余弦值为.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．