【题目】已知a、b、c为的三边长,直线
的方程为
,圆
.
(1)若为直角三角形,c为斜边长,且直线
与圆M相切.求c的值;
(2)已知为坐标原点,点
,
,
,
,平行于ON的直线h与圆M相交于R,
两点,且
,求直线h的方程:
(3)若为正三角形,对于直线
上任意一点P,在圆
上总存在一点
,使得线段
的长度为整数,求c的取值范围;
【答案】(1) (2)
或
(3)
.
【解析】
(1)为直角三角形,
为斜边长,则
,又直线与圆相切,根据点到直线的距离公式,得到关于
的方程,求出
即可.
(2)由直线平行于
计算出斜率,设直线h的方程为
,利用点到线的距离公式求距离,勾股定理得到方程,即可求出参数
。
(3)此时圆为以为圆心,以
为半径的圆,直线可化为
,直线
上任意一点
,在圆
上总存在一点
,使得线段
的长度为整数,设圆心到直线的距离为
,只需
能用整数表示,并且圆的直径
即可.
解:(1)由题意得,
圆心到直线的距离,
或0(舍)
综上:.
(2)圆M的标准方程为,
所以圆心,半径为5.
因为直线,所以直线h的斜率为
.
设直线h的方程为,即
,
则圆心M到直线h的距离.
因为
而,所以
,
解得或
.
故直线h的方程为或
.
(3)为正三角形,
,直线
,
,对于这条直线,总存在无穷多点在圆外,
从中找一个到圆心距离为的点P,则点P到图上任意点
的距离,
,
时不存在整数,
;下面分类讨论:
(Ⅰ)直线与圆相切或相离,即;即
;
此时,所以
可以取到整数.
(Ⅱ)线与圆相交,即,直线上不在圆内的点P,同理成立;
对于直线上在圆内部分的任意点P,,
,
所以使得存在整数的条件是
对任意点P都成立,
,
,
所以,
综上.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率为
,且左焦点F1到左准线的距离为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)若与原点距离为1的直线l1:与椭圆
相交于A,B两点,直线l2与l1平行,且与椭圆
相切于点M(O,M位于直线l1的两侧).记△MAB,△OAB的面积分别为S1,S2,若
,求实数
的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
,
.
(1)以过原点的直线的倾斜角为参数,写出曲线
的参数方程;
(2)直线过原点,且与曲线
,
分别交于
,
两点(
,
不是原点)。求
的最大值.
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【题目】随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计,得到下表:
考试情况 | 男学员 | 女学员 |
第1次考科目二人数 | 1200 | 800 |
第1次通过科目二人数 | 960 | 600 |
第1次未通过科目二人数 | 240 | 200 |
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.
(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;
(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元,求
的分布列与数学期望.
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【题目】为调查某校学生每周课外阅读的情况,采用分层抽样的方法,收集100位学生每周课外阅读时间的样本数据(单位:小时).根据这100个数据,制作出学生每周课外阅读时间的频率分布直方图(如图).
(1)估计这100名学生每周课外阅读的平均数和样本方差
(同一组数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由频率分布直方图知,该校学生每周课外阅读时间近似服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
.
①求;
②若该校共有10000名学生,记每周课外阅读时间在区间的人数为
,试求
.
参数数据:,若
,
,
.
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【题目】如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB 1 ,若二面角 C AB C1 的大小为 60°,则点 C 到平面 ABC1 的距离为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图,在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中, AB 3 , AA1 4 , M 为 AA1 的中点, P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 点的最短路线长为 ,设这条最短路线与 CC1 的交点为 N 。求:
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;
(2) PC 和 NC 的长;
(3)平面 NMP 和平面 ABC 所成锐二面角大小的正切值.
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【题目】若函数在其图象上存在不同的两点
,
,其坐标满足条件:
的最大值为0,则称
为“柯西函数”,
则下列函数:
;
;
;
.
其中为“柯西函数”的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】椭圆C:过点M(2,0),且右焦点为F(1,0),过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点.设点P(4,3),记PA、PB的斜率分别为k1和k2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如果直线l的斜率等于-1,求出k1k2的值;
(3)探讨k1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出k1+k2的取值范围.
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