Question

18．某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50，100）内，设考试分数x的分布频率是f（x），且$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{n}{10}-0.4，10n≤x＜10（{n+1}），n=5，6，7\\-\frac{n}{5}+b，10n≤x＜10（{n+1}），n=8，9.\end{array}\right.$
（1）求b的值；
（2）并估计班级的考试平均分数；
（3）考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在[50，60）内的成绩记为1分，考试分数在[60，70）内的成绩记为2分，考试分数在[70，80）内的成绩记为3分，考试分数在[80，90）内的成绩记为4分，考试分数在[90，100）内的成绩记为5分，在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分，2分，3分的学生中随机抽取6人，再从这6人中抽出2人，记这2人的成绩之和为4的概率（将频率视为概率）．

Answer 1

分析 （1）考试分数x的分布频率是f（x），列出方程，能求出b的值．
（2）利用考试分数x的分布频率是f（x），能求出班级的考试平均分数．
（3）考试成绩记为1分，2分，3分，4分，5分的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.3，0.1，考试成绩记为1分、2分、3分的分别可以抽出1人，（记为A），2人（记为B，C），3人（记为D、E、F），再从这面人中抽出2人，利用列举法能求出这2人的成绩之和为4分的概率．

解答 解：（1）∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{n}{10}-0.4，10n≤x＜10（{n+1}），n=5，6，7\\-\frac{n}{5}+b，10n≤x＜10（{n+1}），n=8，9.\end{array}\right.$
∴$（\frac{5}{10}-0.4）+（\frac{6}{10}-0.4）+（\frac{7}{10}-0.4）$+（-$\frac{8}{5}+b$）+（-$\frac{9}{5}$+b）=1，
解得b=1.9．
（2）班级的考试平均分数为：
（$\frac{5}{10}-0.4$）×55+（$\frac{6}{10}-0.4$）×65+（$\frac{7}{10}-0.4$）×75+（-$\frac{8}{5}+1.9$）×85+（-$\frac{9}{5}+1.9$）×95=76分．
（3）由题意知：
考试成绩记为1分，2分，3分，4分，5分的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.3，0.1，
考试成绩记为1分、2分、3分的分别可以抽出1人，（记为A），2人（记为B，C），3人（记为D、E、F），
再从这面人中抽出2人，基本事件为：
AB，AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、EF，共15个，
成绩之和为4的有：AD、AE、AF、BC，共4个，
∴这2人的成绩之和为4分的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{4}{15}$．

点评 本题考查实数值、平均数、概率的求法及应用，涉及到分布频率、概率、平均值、概率等基础知识，考查函数与方程思想、集合思想，是中档题．