Question

3．若正实数x，y满足x²+2xy-1=0，则2x+y的最小值为$\sqrt{3}$ ．

Answer 1

分析 由条件可得y=$\frac{1}{2x}$-$\frac{x}{2}$，代入2x+y=$\frac{1}{2}$（3x+$\frac{1}{x}$），利用基本不等式求出最值

解答 解：∵正实数x，y满足x²+2xy-1=0，
∴y=$\frac{1}{2x}$-$\frac{x}{2}$，
∴2x+y=2x+$\frac{1}{2x}$-$\frac{x}{2}$=$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2x}$=$\frac{1}{2}$（3x+$\frac{1}{x}$）≥$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3x•\frac{1}{x}}$=$\sqrt{3}$，当且仅当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号，
∴2x+y的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$

点评 本题考查了基本不等式的应用问题，解题的关键是2x+y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2x}$，使它能利用基本不等式，是基础题目．