Question

4．已知直线l：经过点（-3，$\sqrt{3}$）与圆x²+y²=12相交于A、B两点，若|AB|=2$\sqrt{3}$，则l方程为x=-3或$\sqrt{3}x-3y+6\sqrt{3}$=0．

Answer 1

分析 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=-3；当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x+3）+$\sqrt{3}$，圆x²+y²=12的圆心（0，0），半径r=2$\sqrt{3}$，圆心到直线y=k（x+3）+$\sqrt{3}$的距离d=$\frac{|3k+\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，由此能求出直线l的方程．

解答 解：直线l：经过点（-3，$\sqrt{3}$）与圆x²+y²=12相交于A、B两点，|AB|=2$\sqrt{3}$，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=-3，
把x=-3代入圆x²+y²=12，得A（-3，-$\sqrt{3}$），B（-3，$\sqrt{3}$），|AB|=2$\sqrt{3}$，成立；
当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x+3）+$\sqrt{3}$，
圆x²+y²=12的圆心（0，0），半径r=2$\sqrt{3}$，
圆心到直线y=k（x+3）+$\sqrt{3}$的距离d=$\frac{|3k+\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵|AB|=2$\sqrt{3}$，∴${r}^{2}={d}^{2}+（\frac{|AB|}{2}）^{2}$，
即12=$\frac{（3k+\sqrt{3}）^{2}}{{k}^{2}+1}$+3，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+3）+$\sqrt{3}$，即$\sqrt{3}x-3y+6\sqrt{3}$=0，
∴直线l的方程为x=-3或$\sqrt{3}x-3y+6\sqrt{3}$=0．
故答案为：x=-3或$\sqrt{3}x-3y+6\sqrt{3}$=0．

点评 本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．