Question

16．7个人排成一排．
（1）甲、乙、丙互不相邻，共有多少种排法？
（2）甲乙相邻，丙丁不相邻有多少种排法？
（3）甲不与乙相邻，丙不与乙相邻，有多少种排法？

Answer 1

分析 （1）先排列除甲、乙、丙之外的4人，形成了5个空，再将甲、乙、丙插入到其中3个空中，问题得以解决；
（2）先把甲乙捆绑在一起，和除丙丁之外的3人形成了5个空，再将丙、丁插入到其中2个空中，问题得以解决；
（3）若乙在两端，若乙不在两端，根据分类计数原理可得．

解答 解：（1）先排列除甲、乙、丙之外的4人，形成了5个空，再将甲、乙、丙插入到其中3个空中，故有A₄⁴A₅³=1440种，
（2）先把甲乙捆绑在一起，和除丙丁之外的3人形成了5个空，再将丙、丁插入到其中2个空中，故有A₂²A₄²A₅²=480种，
（3）若乙在两端，先选1人（除甲丙）和乙相邻，其余的人任意排，故有A₂¹A₄¹A₅⁵=960种，
若乙不在两端，先选2人和乙相捆绑在一起（乙在中间），其余的人任意排，故有A₄²A₅⁵=1440种，
根据分类计数原理可得，共有960+1440=2400种．

点评 本题考查排列、组合及简单计数问题，本题在计数时根据具体情况选用了插空法、捆绑法等方法，做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义．