Question

7．已知m，n均为正数，曲线$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1过定点A（1，$\sqrt{2}$），则m+n的最小值是（　　）

• A． 2（$\sqrt{2}$+1）
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． （$\sqrt{2}$+1）²
• D． 4（$\sqrt{2}$+1）²

Answer 1

分析 由题意可得正数m、n满足$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=1，整体代入可得m+n=（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$）=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵m，n均为正数，曲线$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1过定点A（1，$\sqrt{2}$），
∴$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=1，∴m+n=（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$）
=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$+1）²，
当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{2m}{n}$即n=$\sqrt{2}$m时取等号，
联立$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=1可解得m=$\sqrt{2}$+1且n=2+$\sqrt{2}$时取等号．
故选：C．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代入并化为可用基本不等式的形式是解决问题关键，属基础题．