Question

19．两圆x²+y²+2ax+a²-4=0和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三条公切线，则a+2b的最大值为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得a²+4b²=9，再利用三角换元，求a+2b的最大值．

解答 解：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为 （x+a）²+y²=4，x²+（y-2b）²=1，
圆心分别为（-a，0），（0，2b），半径分别为2和1，故有$\sqrt{{a}^{2}+4{b}^{2}}$=3，∴a²+4b²=9，
设a=3cosα，b=$\frac{3}{2}$sinα，
∴a+2b=3cosα+3sinα=3$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=1时，a+2b的最大值为3$\sqrt{2}$
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特征，得到a²+4b²=9是解题的关键和难点．