Question

11．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2cosA=$\sqrt{4cosA-1}$．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求实数m的值；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）已知等式两边平方后整理可解得cosA=$\frac{1}{2}$，而由已知及余弦定理可得 $\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{m}{2}$，从而解得m的值．
（2）由（1）可求得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合余弦定理可求得bc≤a²，即可由三角形面积公式求最大值．

解答 （本题满分为15分）
解：（1）由 2cosA=$\sqrt{4cosA-1}$，两边平方可得：4cos²A-4cosA+1=0，
解得：cosA=$\frac{1}{2}$．…4分
而a²-c²=b²-mbc可以变形为：$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{m}{2}$，
即cosA=$\frac{m}{2}$=$\frac{1}{2}$，所以m=1．…7分
（2）由（1）知cosA=$\frac{1}{2}$，则sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$．…9分
所以bc=b²+c²-a²≥2bc-a²，即bc≤a²…12分
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{{a}^{2}}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．…15分

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了基本不等式的应用，属于基本知识的考查．