Question

20．己知直线l：3x+4y-12=0与x轴，y轴分别相交A，B．
（1）求与直线l、x轴、y轴都相切的圆的方程；
（2）线段OA上一个动点严P，OB的延长线上有动点Q，A，B和OQ的交点为M，如果P、Q保持|PA|=|BQ|，且分别趋近于A，B，问点M趋向何处？

Answer 1

分析 （1）确定圆心与半径，即可求与直线l、x轴、y轴都相切的圆的方程；
（2）求出直线PQ的方程与直线l：3x+4y-12=0联立可得M的轨迹．

解答 解：（1）由题意A（4，0），B（0，3），设圆的半径为r，则
由等面积可得$\frac{1}{2}×（3+4+5）r=\frac{1}{2}×3×4$，∴r=1
∴圆的方程（x-1）²+（y-1）²=1；
（2）设PA=a（0＜a＜4），则P（4-a，0），Q（0，3+a），
∴直线PQ的方程为$\frac{x}{4-a}$+$\frac{y}{3+a}$=1
与直线l：3x+4y-12=0联立可得x=$\frac{16-4a}{7}$，y=$\frac{9+3a}{7}$，
消去a可得3x+4y-12=0，即M在线段AB上．

点评 本题考查圆的方程，考查轨迹方程的求解，考查学生的计算能力，属于中档题．