Question

12．已知△ABC三内角的正弦值等于△A₁B₁C₁的三内角的余弦值，角A、B、C所对应的边为a，b，c，且A为钝角，a=2$\sqrt{5}$．b=2$\sqrt{2}$，则△ABC的面积为2．

Answer 1

分析 设：sinA=cosA₁，sinB=cosB₁，sinC=cosC₁，可得A₁，B₁，C₁ 都为锐角，又A为钝角，则B，C为锐角，结合诱导公式及三角形内角和定理可知：A=A₁=A-90°，B₁=90°-B，C₁=90°-C，
相加可解得A=$\frac{3π}{4}$，利用余弦定理可得c²+4c-12=0，解得c，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵△ABC三内角的正弦值等于△A₁B₁C₁的三内角的余弦值，
∴不妨设：sinA=cosA₁，sinB=cosB₁，sinC=cosC₁，
∵cosA₁＞0，cosB₁＞0，cosC₁＞0，
∴A₁，B₁，C₁ 都为锐角，
又A为钝角，则B，C为锐角，结合诱导公式及三角形内角和定理可知：A=A₁=A-90°，B₁=90°-B，C₁=90°-C，
相加可得：A-B-C+90°=A₁+B₁+C₁，
解得：A=$\frac{3π}{4}$．
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：20=8+c²+4c，即：c²+4c-12=0，解得：c=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．