Question

18．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于$\frac{11a-2}{2a}$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可看出f（x）为奇函数，根据奇函数的定义证明即可；
（2）可设x₁，x₂≠0，且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$，从而可以判断出x₁，x₂∈（-∞，0），或x₁，x₂∈（0，+∞）时都有f（x₁）＜f（x₂），这样便可得出f（x）的单调性；
（3）由（2）可知f（x）在[2，a]上单调递增，从而可以求出f（x）在[2，a]上的最大、最小值，这样根据条件即可建立关于a的不等式，解不等式便可得出a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）是奇函数；
函数f（x）的定义域是{ x|x≠0，x∈R}；
又$f（-x）=-x-\frac{1}{-x}=-（x-\frac{1}{x}）=-f（x）$；
∴函数f（x）是奇函数；
（2）设x₁，x₂≠0，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-\frac{1}{{x}_{1}}）-（{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}）$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）+（\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{1}}）$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0；
∴x₁，x₂∈（0，+∞），或x₁，x₂∈（-∞，0）时，$1+\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增；
（3）解：∵[2，a]⊆[0，+∞）；
∴函数f （x）在区间[2，a]上为增函数；
∴$f（x）_{max}=f（a）=a-\frac{1}{a}，f（x）_{min}=f（2）=\frac{3}{2}$；
由已知$a-\frac{1}{a}+\frac{3}{2}≥\frac{11a-2}{2a}$，解得：a≥4；
∴a的取值范围是[4，+∞）．

点评 考查奇函数的定义及判断方法和过程，反比例函数的单调性，单调性的定义，以及根据单调性定义判断并证明一个函数单调性的方法和过程，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值．