Question

设函数f（x）=sinα+

3

cosα，其中角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．
（1）若P点的坐标为（

3

，1）求f（a）的值；
（2）若点P（x，y）为平面区域

x+y≥1 y≥ 3 3 x y≤1

上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数f（a）的最小值和最大值．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：计算题,作图题,三角函数的求值

分析：（1）由题意可得α=

π

6

，从而求f（a）的值；
（2）作出平面区域，从而确定角α的取值范围，再化简三角函数，从而求函数f（a）的最小值和最大值．

解答： 解：（1）∵P点的坐标为（

3

，1），
∴α=

π

6

，
故f（

π

6

）=sin

π

6

+

3

cos

π

6

=

1

2

+

3

2

=2；
（2）由题意，作出平面区域，

由图可知，

π

6

≤α≤

π

2

，
故f（a）=sinα+

3

cosα
=2sin（α+

π

3

），
∵

π

6

≤α≤

π

2

，
∴

π

2

≤α+

π

3

≤

5π

6

，
∴1≤2sin（α+

π

3

）≤2，
故函数f（a）的最小值为1，最大值为2．

点评：本题考查了三角函数的化简与性质应用，同时考查了角的求法，属于中档题．