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(本题12分)直线l:y=kx+1与双曲线C:的右支交于不同的两点A,B
(Ⅰ)求实数k的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)-2<k<
(Ⅱ)k=-时,使得以线段AB为直径的圆经过的双曲线C的右焦点。

试题分析:(Ⅰ)由
据题意:    解得-2<k<
(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2
则由①式得:
假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆过双曲线C的右焦点F(,0),则FAFB.
·=0
即:(x1)(x2)+y1y2=0
(x1)(x2)+(kx1+1)(kx2+1)=0
(1+k2)x1 x2+(k-)(x1+ x2)+=0
∴(1+k2+(k-)·=0
∴5k2+2-6=0
∴k=-或k=(-2,-)(舍去)
∴k=-时,使得以线段AB为直径的圆经过的双曲线C的右焦点。
点评:中档题,涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,往往要利用韦达定理。存在性问题,往往从假设存在出发,运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备。
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