Question

6．设a＞0，b＞0，A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0），若A，B，C三点共线，则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是（　　）

• A． 3+2$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 6
• D． 9

Answer 1

分析 根据题意首先求出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的坐标，再根据两个向量共线的性质得到2a+b=1，然后结合所求的式子的结构特征利用基本不等式求出其最小值．

解答 解：由题意得：$\overrightarrow{AB}$=（a-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-b-1，2）．
又∵A、B、C三点共线，
∴$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{AC}$，从而（a-1 ）×2-1×（-b-1）=0，
∴可得2a+b=1．
又∵a＞0，b＞0
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）•（2a+b）=5+（$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}{b}$）≥5+4=9，
故选：D．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握向量共线与点共线之间的关系，以及两个向量共线时坐标形式的运算公式，考查基本不等式的应用，此题得到2a+b=1是解题的关键．