Question

14．己知x，y都是正数，且x²+2y²=$\sqrt{2}$，则$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值是$\frac{{3}^{\frac{3}{2}}}{{2}^{\frac{1}{4}}}$．

Answer 1

分析 根据条件可得到$\sqrt{2}$=${x}^{2}+{y}^{2}+{y}^{2}≥3\root{3}{{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}}$，从而可得出$xyz≤\frac{{2}^{\frac{3}{4}}}{{3}^{\frac{3}{2}}}$，当x=y=z时取等号，而$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}≥3\root{3}{\frac{1}{xyz}}$，并且当x=y=z时取等号，这样即可得出$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的范围，从而得出$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值．

解答 解：x，y＞0，∴由${x}^{2}+2{y}^{2}=\sqrt{2}$得，$\sqrt{2}={x}^{2}+{y}^{2}+{y}^{2}≥3\root{3}{{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}}$，当且仅当x=y=z时取等号；
∴$\root{3}{{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}}≤\frac{\sqrt{2}}{3}$；
∴${x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}≤\frac{{2}^{\frac{3}{2}}}{{3}^{3}}$；
∴$xyz≤\frac{{2}^{\frac{3}{4}}}{{3}^{\frac{3}{2}}}$；
∴$\frac{1}{xyz}≥\frac{{3}^{\frac{3}{2}}}{{2}^{\frac{3}{4}}}$；
∴$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}≥3\root{3}{\frac{1}{xyz}}$$≥\frac{{3}^{\frac{3}{2}}}{{2}^{\frac{1}{4}}}$，当且仅当x=y=z时取等号；
∴$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值为$\frac{{3}^{\frac{3}{2}}}{{2}^{\frac{1}{4}}}$．
故答案为：$\frac{{3}^{\frac{3}{2}}}{{2}^{\frac{1}{4}}}$．

点评 考查三个正数的算术-几何平均不等式在求最小值中的应用，注意等号成立的条件，以及不等式的性质．