Question

3．已知一个圆锥内接于球O（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径R=5，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为$\frac{128π}{3}$．

Answer 1

分析 设圆锥的底面半径为r，用r表示出由球心O，圆锥底面中心O′和圆锥底面圆周上一点组成的直角三角形的三边，使用勾股定理列方程解出r．

解答 解：设圆锥的底面半径O′B=r，则SO′=2r，
∵球的半径为OS=OB=5，
∴OO′=2r-5，
由勾股定理得：（2r-5）²+r²=25，
解得r=4．
∴圆锥的高为8，
∴圆锥的体积V=$\frac{1}{3}π×{4}^{2}×8$=$\frac{128π}{3}$．
故答案为$\frac{128π}{3}$．

点评 本题考查了圆锥的结构特征，圆锥与外接球的关系，属于中档题．