Question

已知正四面体A-BCD，设异面直线AB与CD所成的角为α，侧棱AB与底面BCD所成的角为β，侧面ABC与底面BCD所成的角为γ，则比较三者大小

 

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：分别根据异面直线所成角的定义，线面角的定义，以及二面角的定义确定α，β，γ的大小即可得到结论．

解答： 解：过A作A在底面的射影O，
∵A-BCD是正四面体，
∴0是底面的中心，
取BC的中点E，连结OB，OE，AE，
则∠ABO是侧棱AB与底面BCD所成的角，即β=∠ABO
侧面ABC与底面BCD所成的角为∠AEO，即γ=∠AEO，
在正四面体A-BCD中，AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成的角为α=90°，
∵sinβ=sin∠ABO=

AO

AB

，sinγ=sin∠AEO=

AO

AE

，
∵AB＞AE，
∴

AO

AB

＜

AO

AE

，
即sinβ＜sinγ，则β＜γ＜90°，
即β＜γ＜α，
故答案为：β＜γ＜α

点评：本题主要考查空间角才大小计算，要求熟练掌握直线所成的角，线面角和二面角的大小计算．