Question

若方程（1-a）sin²x+2sinxcosx-（2+a）cos²x=0有无数个解，则a取值范围为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据2倍角公式原方程可化为，sin2x-

3

2

cos2x=a+

1

2

，即

13

2

sin(2x-θ)=a+

1

2

，其中tanθ=

3

2

，由题意方程有无数个解，根据三角函数的值域，得到不等式-

13

2

≤a+

1

2

≤

13

2

，解得即可．

解答： 解：∵（1-a）sin²x+2sinxcosx-（2+a）cos²x=0，
∴sin²x-asin²x+sin2x-2cos²x-acos²x=0．
∴（1-cos2x）+sin2x-（cos2x+1）-a=0，
∴sin2x-

3

2

cos2x=a+

1

2

，
∴

13

2

sin(2x-θ)=a+

1

2

，其中tanθ=

3

2

，
∵-1≤sin（2x-θ）≤1，
∴-

13

2

≤

13

2

sin（2x-θ）≤

13

2

，
∴-

13

2

≤a+

1

2

≤

13

2

，
∴-

13

2

-

1

2

≤a≤

13

2

-

1

2

，
即a取值范围为[-

13 +1

2

，

13 -1

2

]

点评：本题主要考查了三角函数的化简，主要是2倍角公式，以及方程的解得问题，属于中档题．