Question

函数f（x）=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）
（1）若a=2，求y=f（x）的值域
（2）若y=f（x）在区间[-1，1]上有最大值14．求a的值；
（3）在（2）的前题下，若a＞1，作出f（x）=a^|x-1|的草图，并通过图象求出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，f（x）=2^2x+2×2^x-1=（2^x+1）²-2，利用二次函数的性质即可求解
（2）y=a^2x+2a^x-1=（a^x+1）²-2对于底数a分类讨论得到函数的最值和单调性．
（3）结合指数函数的图象及函数的图象的平移即可

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=2^2x+2×2^x-1=（2^x+1）²-2
∵2^x＞0，设t=2^x，则y=（t+1）²-2在（0，+∞）上单调递增
故y＞-1，∴y=f（x）的值域为（-1，+∞）…．（5分）
（2）y=a^2x+2a^x-1=（a^x+1）²-2…．（6分）
①当a＞1时，又-1≤x≤1，可知

1

a

≤ax≤a，设a^x=t，
则y=（t+1）²-2在[

1

a

，a]上单调递增
∴f(x)max=(a+1)2-2=14，解得a=3或a=-5，故a=3…（8分）
②当0＜a＜1时，又-1≤x≤1，可知a≤ax≤

1

a

，设a^x=t，
则y=（t+1）²-2在[a，

1

a

]上单调递增
∴f(x)max=(

1

a

+1)2-2=14，解得a=

1

3

或a=-

1

5

，故a=

1

3

…（10分）
综上可知a的值为3或

1

3

…（11分）
（3）y=3^|x-1|的图象，
 …..（13分）
函数的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（-∞，1）…（14分）

点评：本题主要考查了指数函数的值域的求解，二次函数在闭区间上的最值的求解及函数的图象的平移及对称变换，体现了数形结合及分类讨论思想的应用