Question

已知函数f（x）=a^2x-（3a²+1）•a^x（a＞0且a≠1）在[0，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：令t=a^x，则y=t²-（3a²+1）t，分a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论，根据复合函数的单调性可得不等式组，从而可解出a的取值范围．

解答：解：令t=a^x，
（1）若a＞1，则x∈[0，+∞）时t≥1，且t=a^x递增，
y=t²-（3a²+1）t在（-∞，

3a2+1

2

]递减，在[

3a2+1

2

，+∞）递增，
要使f（x）在[0，+∞）上是增函数，
须有a＞1，且

3a2+1

2

≤1，此时无解；
（2）若0＜a＜1，则x∈[0，+∞）时0＜t≤1，且t=a^x递减，
要使f（x）在[0，+∞）上为增函数，
须有0＜a＜1，且

3a2+1

2

≥1，
解得

3

3

≤a＜1；
综上，

3

3

≤a＜1．

点评：本题主要考查复合函数的单调性、指数函数及二次函数的单调性问题，熟练掌握复合函数单调性的判断方法是解决问题的关键所在．