Question

已知函数f（x）=a^2x+a^x-6，其中a＞0且a≠1．
（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；
（2）若x∈[1，2]时，函数f（x）的最大值为6，求a的值．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）=0的根，即可求函数f（x）的零点；
（2）换元，再进行分类讨论，利用函数的单调性，函数f（x）的最大值为6，即可求a的值．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=2^2x+2^x-6…1分
由f（x）=0得2^2x+2^x-6=0，即（2^x-2）（2^x+3）=0…2分
∴2^x=2或2^x=-3（舍去）                           …4分
∴x=1…5分
∴函数f（x）的零点是1…6分
（2）令a^x=t，则g（t）=t²+t-6
①当0＜a＜1时
∵函数t=a^x在R上是减函数，且1≤x≤2，∴a²≤t≤a…7分
∵g（t）=t²+t-6在[-

1

2

，+∞)上单调递增
∴f（x）_max=g（t）_max=g（a）=6
∴a²+a-6=6，即a²+a-12=0…8分
解得a=3（舍去）或a=-4（舍去）                     …9分
②当a＞1时
∵函数t=a^x在R上是增函数，且1≤x≤2，∴a≤t≤a²…10分
∵g（t）=t²+t-6在[-

1

2

，+∞)上单调递增
∴f(x)max=g(t)max=g(a2)=6
∴（a²）²+a²-6=6，即（a²）²+a²-12=0…11分
解得a²=3或a²=-4（舍去）                       …12分
∴a=

3

…13分
综合①②可知，a=

3

．                           …14分．

点评：本题考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．