【题目】已知函数;
(1)讨论的极值点的个数;
(2)若,且
恒成立,求
的最大值.
参考数据:
1.6 | 1.7 | 1.8 | |
4.953 | 5.474 | 6.050 | |
0.470 | 0.531 | 0.588 |
【答案】(1)见解析;(2)10.
【解析】
(1)求导数得到,然后分
和
两种情况讨论函数
的极值点的个数.(2)由(1)知
有极大值
,且
满足
①,
且,要使
恒成立,只需
②,代换后可得只需
,又
,所以只需
.然后通过分析可得函数
的零点
,且
.又由②可得
,且当
时,
,不等式显然恒成立;当
时,
,
,然后令
,
,可得
,于是可得
的最大值.
(1)根据题意可得,,
①当时,
,函数
单调递减,无极值点;
②当时,令
,得
,
又在
上是增函数,且当
时,
,
所以在
上存在一解,不妨设为
,
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减.
所以函数有一个极大值点,无极小值点;
总上可得:当时,无极值点;
当时,函数
有一个极大值点,无极小值点.
(2)因为,由(1)知
有极大值
,且
满足
①,
且,
要使恒成立,只需
②,
由①可得,代入② 得
,即
,
因为,所以
,
因为,
,且
在
是增函数,
设为
的零点,则
,可知
,
由②可得,
当时,
,不等式显然恒成立;
当时,
,
,
令,
,
,
所以上是减函数,且
,
,
所以,
所以,
又,
所以的最大值为
.
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【题目】已知二次函数满足
,且方程
有两个相等的实数根
(1)求函数的解析式;
(2)若是
上的奇函数,且
时,
,求
的解析式;
(3)若不等式对一切实数
,
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】某公司计划在报刊与网络媒体上共投放30万元的广告费,根据计划,报刊与网络媒体至少要投资4万元.根据市场前期调研可知,在报刊上投放广告的收益与广告费
满足
,在网络媒体上投放广告的收益
与广告费
满足
,设在报刊上投放的广告费为
(单位:万元),总收益为
(单位:万元).
(1)当在报刊上投放的广告费是18万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排报刊、网络媒体的广告投资费,才能使总收益最大?
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【题目】已知集合,
,集合
,且集合
满足
,
.
(1)求实数的值;
(2)对集合,其中
,定义由
中的元素构成两个相应的集合:
,
,其中
是有序数对,集合
和
中的元素个数分别为
和
,若对任意的
,总有
,则称集合
具有性质
.
①请检验集合与
是否具有性质
,并对其中具有性质
的集合,写出相应的集合
和
;
②试判断和
的大小关系,并证明你的结论.
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【题目】已知中心在原点,焦点在
轴上的椭圆,离心率
,且椭圆过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆左、右焦点分别为,过
的直线
与椭圆交于不同的两点
,则
的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】函数的定义域为
(
).
(1)当时,求函数
的值域;
(2)若函数在定义域上是减函数,求
的取值范围;
(3)求函数在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时
的值.
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【题目】已知倾斜角为的直线经过抛物线
:
的焦点
,与抛物线
相交于
、
两点,且
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点的两条直线
、
分别交抛物线
于点
、
和
、
,线段
和
的中点分别为
、
.如果直线
与
的倾斜角互余,求证:直线
经过一定点.
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【题目】把函数的图象沿着
轴向左平移
个单位,纵坐标伸长到原来的
倍(横坐标不变)后得到函数
的图象,对于函数
有以下四个判断:
(1)该函数的解析式为;
(2)该函数图象关于点对称;
(3)该函数在上是增函数;
(4)若函数在
上的最小值为
,则
.
其中正确的判断有( )
A.个B.
个C.
个D.
个
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