【题目】已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω>0
(1)令ω=1,判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,对任意a∈R,求y=g(x)在区间[a,a+10π]上零点个数的所有可能值.
【答案】(1)F(x)既不是奇函数,也不是偶函数(2)21或20
【解析】
(1)特值法:ω=1时,写出f(x)、F(x),求出F()、F(
),结合函数奇偶性的定义可作出正确判断;
(2)根据图象平移变换求出g(x),令g(x)=0可得g(x)可能的零点,而[a,a+10π]恰含10个周期,分a是零点,a不是零点两种情况讨论,结合图象可得g(x)在[a,a+10π]上零点个数的所有可能值.
(1)f(x)=2sinx,
F(x)=f(x)+f(x)=2sinx+2sin(x
)=2(sinx+cosx),
F()=2
,F(
)=0,F(
)≠F(
),F(
)≠﹣F(
),
所以,F(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)f(x)=2sin2x,
将y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位后得到y=2sin2(x
)+1的图象,所以g(x)=2sin2(x
)+1.
令g(x)=0,得x=kπ或x=kπ
(k∈z),
因为[a,a+10π]恰含10个周期,所以,当a是零点时,在[a,a+10π]上零点个数21,
当a不是零点时,a+kπ(k∈z)也都不是零点,区间[a+kπ,a+(k+1)π]上恰有两个零点,故在[a,a+10π]上有20个零点.
综上,y=g(x)在[a,a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20.
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【题目】已知圆:
与直线
:
,动直线
过定点
.
(1)若直线与圆
相切,求直线
的方程;
(2)若直线与圆
相交于
、
两点,点M是PQ的中点,直线
与直线
相交于点N.探索
是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试,这次考试由十道选择题组成,得分要求是:做对一道题得1分,做错一道题扣去1分,不做得0分,总得分7分就算及格,小威的目标是至少得7分获得及格,在这次考试中,小威确定他做的前六题全对,记6分,而他做余下的四道题中,每道题做对的概率均为p,考试中,小威思量:从余下的四道题中再做一题并且及格的概率
;从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率
,他发现
,只做一道更容易及格.
(1)设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为,从余下的四道题中全做并且及格的概率为
,求
及
;
(2)由于p的大小影响,请你帮小威讨论:小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大?
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【题目】如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB=90°,BE=BC,F为CE的中点,
(1)求证:AE∥平面BDF;
(2)求证:平面BDF⊥平面ACE;
(3)2AE=EB,在线段AE上找一点P,使得二面角P﹣DB﹣F的余弦值为 , 求AP的长.
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【题目】将函数f(x)=2sin(2x﹣)的图象向左平移
个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,则b的最小值为
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【题目】3名男生、3名女生站成一排:
(1)女生都不站在两端,有多少不同的站法?
(2)三名男生要相邻,有多少种不同的站法?
(3)三名女生互不相邻,三名男生也互不相邻,有多少种不同的站法?
(4)女生甲,女生乙都不与男生丙相邻,有多少种不同的站法?
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【题目】某机构为了调查某市同时符合条件与
(条件
:营养均衡,作息规律;条件
:经常锻炼,劳逸结合)的高中男生的体重
(单位:
)与身高
(单位:
)是否存在较好的线性关系,该机构搜集了
位满足条件的高中男生的数据,得到如下表格:
身高/ | ||||||
体重/ |
根据表中数据计算得到关于
的线性回归方程对应的直线的斜率为
.
(1)求关于
的线性回归方程
(
精确到整数部分);
(2)已知,且当
时,回归方程的拟合效果较好。试结合数据
,判断(1)中的回归方程的拟合效果是否良好?
(3)该市某高中有位男生同时符合条件
与
,将这
位男生的身高(单位:
)的数据绘制成如下的茎叶图。利用(1)中的回归方程估计这
位男生的体重未超过
的所有男生体重(单位:
)的平均数(结果精确到整数部分).
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【题目】已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项,则判断框中应填的语句是( )
A.n>10
B.n≤10
C.n<9
D.n≤9
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【题目】(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和
,系统
和
在任意时刻发生故障的概率分别为
和
。
(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求
的值;
(Ⅱ)设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量
,求
的概率分布列及数学期望
。
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