Question

【题目】如图所示，在三棱锥P －ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA90°，APAC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE.

（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PC⊥AD，且三棱锥P－ABC的体积为8，求多面体ABCED的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）6.

【解析】试题分析：（Ⅰ）欲证DE平面PAC，观察本题的条件，BC⊥平面PAC易证，而BC||平面ADE结合DE=平面PBC平面ADE，可证得BC||ED，由此证法思路已明．由（Ⅰ），结合PCAD，可证得AE面PBC，即得，再由， ，AP=AC可得出E是中点，ED是PBC的中位线.

所以,根据，可得体积.

试题解析：（Ⅰ）BC||平面ADE, BC平面PBC, 平面PBC平面ADE=DE

BC||ED 2分

∵PA底面ABC，BC底面ABC ∴PABC. 3分

又，∴ACBC.

∵PAAC="A," ∴BC平面PAC. 6分

∴DE平面. 7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， DE平面PAC，

∵PC平面PAC，∴DEPC， 8分

又∵PCAD，ADDE=D，∴ PC平面ADE，∴ AEPC， 9分

∵AP="AC," ∴E是PC的中点，ED是PBC的中位线. 10分

12分

∴13分

∴14分