【题目】已知椭圆:
过点
,
为椭圆的半焦距,且
,过点
作两条互相垂直的直线
,
与椭圆
分别交于另两点
,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线的斜率为
,求
的面积;
(3)若线段的中点在
轴上,求直线
的方程.
【答案】(1);(2)2;(3)
或
.
【解析】试题分析:(1)根据条件列出的方程组,结合
即可求得椭圆方程;(2)设
方程为
,整理方程组,由韦达定理求出
点坐标,用用
代替
,得
点坐标,把将
代入,得
,
,
的面积即可求出;(3)设
,
,代入椭圆方程整理可得
,其中
,所以
,分
和
两种情况,根据
,求出
的坐标,求得直线方程.
试题解析:(1)因为椭圆:
,过点
,
为椭圆的半焦距,且
,
所以,且
,
所以,解得
,
,
所以椭圆方程为.
(2)设方程为
,
由整理得
,
因为,解得
,
当时,用
代替
,得
,
将代入,得
,
.
因为,所以
,
,
所以的面积为
.
(3)设,
,
则两式相减得
,
因为线段的中点在
轴上,
所以,从而可得
,
若,则
,
∵,所以
,得
.
又因为,所以解得
,
所以,
或
,
,
所以直线方程为
.
若,则
,
因为,所以
,得
,
又因为,所以解得
或
,
经检验: 满足条件,
不满足条件.
综上,直线的方程为
或
.
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【题目】甲、乙两人玩转盘游戏,该游戏规则是这样的:一个质地均匀的标有12等分数字格的转盘(如图),甲、乙两人各转转盘一次,转盘停止时指针所指的数字为该人的得分.(假设指针不能指向分界线)现甲先转,乙后转,求下列事件发生的概率
(1)甲得分超过7分的概率.
(2)甲得7分,且乙得10分的概率
(3)甲得5分且获胜的概率.
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【题目】已知抛物线C: 的焦点为F,直线
与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且
.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线
与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求
的方程.
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【题目】如图所示,在三棱锥P -ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA90°,AP
AC,点D,E分别在棱PB,PC上,且BC∥平面ADE.
(Ⅰ)求证:DE⊥平面PAC;
(Ⅱ)若PC⊥AD,且三棱锥P-ABC的体积为8,求多面体ABCED的体积.
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【题目】已知命题p:x∈[1,2],x2≥a;命题q:x∈R,x2+2ax+2﹣a=0,若命题p∧q是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a≤﹣2或a=1
B.a≤﹣2或1≤a≤2
C.a≥1
D.﹣2≤a≤1
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【题目】
如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.
(Ⅰ)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE;
(Ⅱ)证明:在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,并求点M到OA,OB的距离.
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