Question

【题目】

如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.

(Ⅰ)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；

(Ⅱ)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】试题分析：

(1)建立空间直角坐标系，利用题意结合平面的法向量和直线的方向向量可得FG∥平面BOE；

(2)设出点的坐标，利用空间直角坐标系可得点M到OA，OB的距离为.

试题解析：

（Ⅰ）如图，连接OP，易知OB，OC，OP两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，x轴，建立空间直角坐标系O－xyz，

则O(0，0，0)，A(0，－8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，－4，3)，F(4，0，3).

由题意，得G(0，4，0)

因为＝(8，0，0)，＝(0，－4，3)，

所以平面BOE的一个法向量为n＝(0，3，4).

由＝(－4，4，－3)，得n·＝0，即n⊥.

又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.

（Ⅱ）设点M的坐标为(x0，y0，0)，

则＝(x0－4，y0，－3).

所FM⊥平面BOE，所以∥n.

因此x0＝4，y0＝－，即点M的坐标是(4，－，0).

在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组

经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB内存在一点M, 使FM⊥平面BOE.由点M的坐标得点M到OA，OB的距离分别为4，.