Question

【题目】定义在上的函数满足对任意，成立，当时,，则在内，函数的所有零点之和为________

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]，分类讨论在[1，2018]内，函数的各个零点的值，可得答案．

解：因为对任意的x∈（0，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立，

且当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x，

所以f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]．

当x∈（，1]时，由函数1＝0得：x[1，2018]；

当x∈（1，2]时，由函数2＝0得：x∈[1，2018]；

当x∈（2，4]时，由函数4＝0得：x＝3∈[1，2018]；

当x∈（4，8]时，由函数8＝0得：x＝6∈[1，2018]；

当x∈（8，16]时，由函数16＝0得：x＝12∈[1，2018]；

当x∈（16，32]时，由函数32＝0得：x＝24∈[1，2018]；

当x∈（32，64]时，由函数64＝0得：x＝48∈[1，2018]；

当x∈（64，128]时，由函数128＝0得：x＝96∈[1，2018]；

当x∈（128，256]时，由函数256＝0得：x＝192∈[1，2018]；

当x∈（256，512]时，由函数512＝0得：x＝384∈[1，2018]；

当x∈（512，1024]时，由函数1024＝0得：x＝768∈[1，2018]；

当x∈（1024，2048]时，由函数2048＝0得：x＝1536∈[1，2018]；

故函数的所有零点之和为3+6+12+24+48+96+192+384+768+1536＝3070.5

故答案为：3070.5