Question

16．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其左、右焦点为F₁，F₂，P为短轴的一个端点，△PF₁F₂的面积等于$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆C上的任意两点，O是坐标原点．
（ⅰ）若k_OA•k_OB=-$\frac{1}{4}$，求证：x₁²+x₂²为定值．
（ⅱ）若以AB为直径的圆经过点O，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列式，解得a²，b²的值，可得椭圆方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设直线AB的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率求得2m²=4k²+1，由x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4；
（ⅱ）由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，根据向量数量积的坐标运算，求得m²=$\frac{4+4{k}^{2}}{5}$，利用点到直线的距离公式，弦长公式，利用基本不等式的性质即可求得△OAB面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}•2c•b=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b³=1，c²=3．
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）证明：（ⅰ）点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆C上的任意两点，
则k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=-\frac{1}{4}$，则x₁x₂+4y₁y₂=0．
当直线MN的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．△＞0．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
∴（1+4k²）x₁x₂+4km（x₁+x₂）+4m²=0，
∴4m²-4-$\frac{32{k}^{2}{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+4m²=0，
化为2m²=4k²+1．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$-2×$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=4，为定值．
当直线AB的斜率不存在时，也适合．
综上可得：x₁²+x₂²=4为定值．
（ⅱ）以AB为直径的圆经过点O，则$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
由（ⅰ）可知$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+4k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{5{m}^{2}-4-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，即m²=$\frac{4+4{k}^{2}}{5}$，
∴原点O到直线AB的距离$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{5}}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
则原点O到直线AB的距离为定值$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
当直线AB的斜率不存在时，丨AB丨=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
当直线AB的斜率存在时，丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$$\sqrt{1+\frac{9{k}^{2}}{16{k}^{4}+8{k}^{2}+1}}$，
当k≠0时，丨AB丨=$\frac{4}{\sqrt{5}}$$\sqrt{1+\frac{9}{16{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+8}}$≤$\frac{4}{\sqrt{5}}$×$\sqrt{1+\frac{9}{2\sqrt{16{k}^{2}×\frac{1}{{k}^{2}}}+8}}$=$\sqrt{5}$，
当且仅当16k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±$\frac{1}{2}$时取等号．
当k=0时，丨AB丨=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
则丨AB丨的最大值为$\sqrt{5}$，
则△OAB面积S=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\sqrt{5}$=1，
∴△OAB面积的最大值1．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．