Question

8．若$（1+{y^3}）{（x-\frac{1}{{{x^2}y}}）^n}（n∈{N_+}）$的展开式中存在常数项，则常数项为-84．

Answer 1

分析 写出二项式（x-$\frac{1}{{x}^{2}y}$）ⁿ的展开式的通项，要使$（1+{y^3}）{（x-\frac{1}{{{x^2}y}}）^n}（n∈{N_+}）$的展开式中存在常数项，再由x，y的指数为0求得n，r的值，则答案可求．

解答 解：（x-$\frac{1}{{x}^{2}y}$）ⁿ的展开式的通项为C_n^r（-1）^rx^n-3ry^-r，
要使$（1+{y^3}）{（x-\frac{1}{{{x^2}y}}）^n}（n∈{N_+}）$的展开式中存在常数项，则$\left\{\begin{array}{l}{n-3r=0}\\{r=3}\end{array}\right.$，
解得r=3，n=9，
则常数项为：C₉³（-1）³=-$\frac{9!}{3!•6!}$=-84，
故答案为：-84

点评 本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．