Question

19．已知数列{a_n}满足a_n+1=（-1）ⁿ（3a_n-1+1），n≥2，n∈N^*，且a₁=a₂=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₁₆=$\frac{7}{16}（{3}^{8}-1）$-6．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a_n+1=（-1）ⁿ（3a_n-1+1），n≥2，n∈N^*，且a₁=a₂=1，分类讨论：①n=2k（k∈N^*）时，a_2k+1=3a_2k-1+1，变形为：a_2k+1+$\frac{1}{2}$=3（a_2k-1+$\frac{1}{2}$），可得数列{a_2k-1+$\frac{1}{2}$}为等比数列，首项为$\frac{3}{2}$，公比为3．②n=2k+1（k∈N^*）时，a_2k+2=-3a_2k-1，变形为：a_2k+2+$\frac{1}{4}$=-3（a_2k+$\frac{1}{4}$），可得：数列{a_2k+$\frac{1}{4}$}为等比数列，首项为$\frac{5}{4}$，公比为-3．
分组利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：数列{a_n}满足a_n+1=（-1）ⁿ（3a_n-1+1），n≥2，n∈N^*，且a₁=a₂=1，
n=2k（k∈N^*）时，a_2k+1=3a_2k-1+1，变形为：a_2k+1+$\frac{1}{2}$=3（a_2k-1+$\frac{1}{2}$），∴数列{a_2k-1+$\frac{1}{2}$}为等比数列，首项为$\frac{3}{2}$，公比为3．
n=2k+1（k∈N^*）时，a_2k+2=-3a_2k-1，变形为：a_2k+2+$\frac{1}{4}$=-3（a_2k+$\frac{1}{4}$），∴数列{a_2k+$\frac{1}{4}$}为等比数列，首项为$\frac{5}{4}$，公比为-3．
则S₁₆=（a₁+a₃+…+a₁₅）+（a₂+a₄+…+a₁₆）
=$\frac{\frac{3}{2}（{3}^{8}-1）}{3-1}$-$\frac{1}{2}×8$+$\frac{\frac{5}{4}[1-（-3）^{8}]}{1-（-3）}$-$\frac{1}{4}×8$=$\frac{7}{16}（{3}^{8}-1）$-6．
故答案为：$\frac{7}{16}（{3}^{8}-1）$-6．

点评 本题考查了累加求和方法、“裂项求和”方法、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．