Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC=b-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{6}$，AC=4，求BC边上的中线AM的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理和两角和的正弦公式即可求出；
（Ⅱ）利用余弦定理即可求出．

解答 解：（Ⅰ）∵acosC=b-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$c，
由正弦定理可得sinAcosC=sinB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC，
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴cosAsinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$，
（Ⅱ）由A=B=$\frac{π}{6}$，则C=$\frac{2π}{3}$，
∴BC=AC=4，AB=4$\sqrt{3}$，
∴AM=2，
由余弦定理可得AM²=BM²+AB²-2BM•ABcosB=4+48-16$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=28，
∴AM=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式和三角形的内角和定理，属于基础题．