Question

13．如图，五面体ABCDE中，四边形ABDE是菱形，△ABC是边长为2的正三角形，∠DBA=60°，$CD=\sqrt{3}$．
（1）证明：DC⊥AB；
（2）若点C在平面ABDE内的射影H，求CH与平面BCD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点O，连OC，OD，证明：AB⊥平面DOC，即可证明DC⊥AB；
（2）若点C在平面ABDE内的射影H，建立空间直角坐标系，利用向量方法求CH与平面BCD所成的角的正弦值．

解答 （1）证明：如图，取AB的中点O，连OC，OD，
因为△ABC是边长为2的正三角形，所以$AB⊥OC，OC=\sqrt{3}$，
又四边形ABDE是菱形，∠DBA=60°，所以△DAB是正三角形，
所以$AB⊥OD，OD=\sqrt{3}$，
而OD∩OC=O，所以AB⊥平面DOC，
所以AB⊥CD．
（2）解：由（1）知OC=CD，平面DOC⊥平面ABD，
因为平面DOC与平面ABD的交线为OD，
所以点C在平面ABDE内的射影H必在OD上，
所以H是OD的中点，
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz，$B（1，0，0），C（0，\sqrt{3}，0）$，$D（0，\sqrt{3}，\frac{3}{2}），H（0，\frac{{\sqrt{3}}}{4}，\frac{3}{4}）$，
所以$\overrightarrow{CH}=（0，-\frac{{3\sqrt{3}}}{4}，\frac{3}{4}）$，$\overrightarrow{BC}=（-1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{BD}=（-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$，
设平面BDC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=-x+\sqrt{3}y=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=-x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}y+\frac{3}{2}z=0\end{array}\right.$，取$y=\sqrt{3}$，则x=3，z=1，
即平面BCD的一个法向量为$（3，\sqrt{3}，1）$．
所以CH与平面BCD所成的角的正弦值为$|{\frac{{\overrightarrow{CH}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{CH}|•|\overrightarrow n|}}}|=|{\frac{-3+1}{{2•\sqrt{13}}}}|$=$\frac{{\sqrt{13}}}{13}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．