Question

5．已知函数f（x）=（x²-2x）1nx+ax²+2，g（x）=f（x）-x-2．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a＞0且函数g（x）有且仅有一个零点，求实数a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若e^-2＜x＜e时，g（x）≤m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-1时，f'（x）=（2x-2）1nx+（x-2）-2x，由此利用导数的几何意义能求出f（x）在（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x-2=0，则$a=\frac{1-（x-2）1nx}{x}$令$h（x）=\frac{1-（x-2）1nx}{x}$，则h′（x）=$\frac{1-x-21nx}{x^2}$，令t（x）=1-x-21nx，则$t'（x）=-1-\frac{2}{x}=\frac{-x-2}{x}$，由此利用导数性质能求出当函数g（x）有且仅有一个零点时a的值．
（Ⅲ）当a=1，若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）_max≤m，由g'（x）=（x-1）（3+21nx），求出$x={e^{-\frac{3}{2}}}$是g（x）的极大值点，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=（x²-2x）1nx-x²+2定义域（0，+∞），
f'（x）=（2x-2）1nx+（x-2）-2x，
∴f'（1）=-3，又f（1）=1，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y-4=0．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x-2=0，则（x²-2x）1nx+ax²+2=x+2
即$a=\frac{1-（x-2）1nx}{x}$
令$h（x）=\frac{1-（x-2）1nx}{x}$，
则$h'（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{2-21nx}{x^2}$=$\frac{1-x-21nx}{x^2}$，
令t（x）=1-x-21nx，则$t'（x）=-1-\frac{2}{x}=\frac{-x-2}{x}$，
∵x∈（0，+∞），∴t'（x）＜0，
∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，
又∵t（1）=h'（1）=0，
∴当0＜x＜1时，h'（x）＞0，当x＞1时，h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=1＞0，
又∵$h（\frac{1}{e}）=1-e＜0$，$h（{e^2}）=\frac{{5-2{e^2}}}{e^2}＜0$，a＞0
∴当函数g（x）有且仅有一个零点时，a=1
（Ⅲ）当a=1，g（x）=（x²-2x）1nx+x²-x，若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，
只需证明g（x）_max≤m，g'（x）=（x-1）（3+21nx）
令g'（x）=0得x=1或$x={e^{-\frac{3}{2}}}$，又∵e^-2＜x＜e，
∴函数g（x）在$（{e^{-2}}，{e^{-\frac{3}{2}}}）$上单调递增，
在$（{e^{-\frac{3}{2}}}，1）$上单调递减，在（1，e）上单调递增，
即$x={e^{-\frac{3}{2}}}$是g（x）的极大值点，
又$g（{e^{-\frac{3}{2}}}）=-\frac{1}{2}{e^{-3}}+2{e^{-\frac{3}{2}}}$，g（e）=2e²-3e
∵$g（{e^{-\frac{3}{2}}}）=-\frac{1}{2}{e^{-3}}+2{e^{-\frac{3}{2}}}$$＜2{e^{-\frac{3}{2}}}＜2e＜2e（e-\frac{3}{2}）=g（e）$，
∴$g（{e^{-\frac{3}{2}}}）＜g（e）$，∴m≥2e²-3e，
∴实数m的取值范围是（2e²-3e，+∞）．

点评 本题考查函数的切线方程、实数的取值范围、导数的几何意义、导数性质、构造法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．