Question

17．若非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a$|=2|$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|，则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角的余弦值为-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角为θ，θ∈[0，π]，由题意两个向量的数量积的运算及其几何意义，求得cosθ的值．

解答 解：设向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角为θ，θ∈[0，π]，
由题意|$\overrightarrow a$|=2|$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|，可得|$\overrightarrow{a}$|²=4${|\overrightarrow{b}|}^{2}$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
即2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=0，即2•2|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ=-|b|²，故$cosθ=-\frac{1}{4}$，
故答案为：-$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算及其几何意义，属于基础题．