Question

7．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$-bx+1．
（1）若2a-b=4，则当a＞2时，讨论f（x）单调性；
（2）若b=-1，F（x）=f（x）-$\frac{5}{x}$，且当a≥-4时，不等式F（x）≥2在区间[1，4]上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出F（x）的导数，通过讨论a的范围求出F（x）的最大值是F（4），求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵2a-b=4，∴$f（x）=alnx+\frac{1}{x}+（4-2a）x+1$，
∴$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}+（4-2a）=\frac{{（4-2a）{x^2}+ax-1}}{x^2}=\frac{[（2-a）x+1]（2x-1）}{x^2}$，
令f'（x）=0，得$x{\;}_1=\frac{1}{2}，{x_2}=\frac{1}{a-2}$，
当a=4时，f'（x）≤0，函数f（x）在定义域（0，+∞）内单调递减
当2＜a＜4时，在区间$（0，\frac{1}{2}），（\frac{1}{a-2}，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减$，
在区间$（\frac{1}{2}，\frac{1}{a-2}）上，f'（x）＞0，f（x）$上单调递增，
当a＞4时，在区间$（{0，\frac{1}{a-2}}），（{\frac{1}{2}，+∞}）$上f'（x）＜0，f（x）单调递减，
在区间$（{0，\frac{1}{a-2}，\frac{1}{2}}）$上f'（x）＞0，f（x）单调递增；
（2）由题意知，当a≥-4时，F（x）在[1，4]上的最大值M≥2，
当b=-1时，$F（x）=f（x）-\frac{5}{x}=x-\frac{4}{x}+alnx+1$，
则$F'（x）=\frac{{{x^2}+ax+4}}{x^2}（1≤x≤4）$
①当-4≤a≤4时，$F'（x）=\frac{{{{（x+\frac{a}{2}）}^2}+4-\frac{a^2}{4}}}{x^2}≥0$，
故F（x）在[1，4]上单调递增，M=F（4）
②当时a＞4时，设x²+ax+4=0（△=a²-16＞0）的两根分别为：${x_{1，}}{x_{2，}}∵\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-a＜0}\\{{x_1}{x_2}=4}\end{array}}\right.∴{x_1}＜0，{x_2}＜0$，
则$F'（x）=\frac{{{x^2}+ax+4}}{x^2}＞0$故F（x）在[1，4]上单调递增，M=F（4），
综上，当a≥-4时，F（x）在[1，4]上单调递增，
M=F（4）=$4-1+aln4+1≥2，解得a≥-\frac{1}{ln2}$，
所以实数a的取值范围是$[-\frac{1}{ln2}，+∞）$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．