Question

7．（1）若（$\frac{1}{2}$+2x）ⁿ的展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（2）（a+x）（a+x）⁴的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中二项式系数最大的项的系数．
（2）（2）设f（x）=（a+x）（a+x）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，分别令x=1、x=-1，可得展开式中x的奇数次幂项的系数之和，再根据展开式中x的奇数次幂项的系数之和等于32，求得a的值．

解答 解：（1）由题意可得${C}_{n}^{4}$+${C}_{n}^{6}$=2${C}_{n}^{5}$，解得n=7 或n=14．
当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T₄和T₅．
∴T₄ 的系数为${C}_{7}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{4}$•2³=$\frac{35}{2}$，T₅的系数为${C}_{7}^{4}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$•2⁴=70，
当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T₈．
∴T₈的系数为${C}_{14}^{7}$•${（\frac{1}{2}）}^{7}$•2⁷=3432．
（2）设f（x）=（a+x）（a+x）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，
令x=1，则=a₀+a₁+a₂+…+a₅=f（1）=16（a+1）…①，
令x=-1，则f（-1）=a₀-a₁+a₂+…+-a₅=0，②，
①-②得，2（a₁+a₃+a₅）=16（a+1），
根据题意可得2×32=16（a+1），
∴a=3．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，注意通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于中档题．