Question

15．已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，通过当a≤0时，当a＞0时，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性．
（2）通过当a=0时，当a＜0时，当a＞0时，分别求解判断求解函数的最小值，推出a的取值范围．

解答 解：（1）$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$，…（1分）
当a≤0时，∵x＞0，∴f'（x）＞0恒成立，
∴f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增…（3分）
当a＞0时，令f'（x）=0，得x=a，
∵x＞0，∴f'（x）＞0得x＞a；f'（x）＜0得0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）上单调递减，
在（a，+∞）上单调递增．…（5分）
（2）当a=0时，f（x）＞0恒成立…（6分）
当a＜0时，当x→0时，f（x）→-∞，f（x）≥0不成立…（8分）
当a＞0时，由（1）可知f（x）_min=f（a）=a-alna，由f（a）=a-alna≥0
得1-lna≥0，∴a∈（0，e]…（11分）
综上所述，a的取值范围是[0，e]．…（12分）

点评 本题考查函数的单调性的判断与应用，导数的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．