Question

已知A，B，C为锐角△ABC的三个内角，tanA，tanB，tanC成等差数列，函数f（x）满足 f（cos2C）=cos（B+C-A），求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：利用等差数列求出关系式，利用弦切互化，得到cos²A=

1-cos2C

1+8cos2C

，化简 f（cos2C）=cos（B+C-A）为A的余弦函数，然后求出函数的解析式．

解答： 解：A，B，C为锐角△ABC的三个内角，tanA，tanB，tanC成等差数列，
可得2tanB=tanC+tanA，又tanC+tanA=tan（A+C）（1-tanAtanC）=-tanB（1-tanAtanC）=2tanB，
可得1-tanAtanC=-2，tanAtanC=3．
∴tan²A=

9

tan2C

，∴1+tan²A=1+

9

tan2C

=

tan2C+9

tan2C

，
而1+tan²A=

1

cos2A

，
∴

1

cos2A

=

tan2C+9

tan2C

，
cos²A=

tan2C

tan2C+9

=

tan2C+1-1

tan2C+1+8

=

1-cos2C

1+8cos2C

f（cos2C）=cos（B+C-A）=cos[（π-A）-A]=-cos2A=-2cos²A+1=-2×

1-tanC

1+8tanC

+1=

10cos2C-1

1+8cos2C

=

5cos2C+4

4cos2C+5

，
∴f(x)=

5x+4

4x+5

，x∈[-1，1]．

点评：本题考查数列与三角函数的综合应用，三角函数的恒等变换，二倍角公式的应用，考查计算能力转化思想的应用．