Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心为O，则下列各命题中的真命题有（　　）
①

OA

+

OD

与

OB1

+

OC1

是一对相反向量
②

OB

-

OC

与

OA1

-

OD1

是一对相反向量
③

OA

+

OB

+

OC

+

OD

与

OA1

+

OB1

+

OC1

+

OD1

是一对相反向量
④

OA1

-

OA

与

OC

-

OC1

是一对相反向量．

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，借助向量的坐标运算及向量的几何意义判定即可．

解答：解：∵设正方形的边长为2，以A点为原点建立空间直角坐标系，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心为O，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），C₁（2，2，2），D₁（0，2，2）
∵O为中心，∴O（1，1，1）
∵

OA

+

OD

=（-1，-1，-1）+（-1，1，-1）=（-2，0，-2），

OB1

+

OC1

=（1，-1，1）+（1，1，1）=（2，0，2）=-（-2，0，-2），∴①√；
∵

OB

-

OC

=（1，-1，-1）-（1，1，-1）=（0，-2，0）=

OA1

-

OD1

=（-1，-1，1）-（-1，1，1）=（0，-2，0），∴②×；
∵

OA

+

OB

+

OC

+

OD

=（-1，-1，-1）+（1，-1，-1）+（1，1，-1）+（-1，1，-1）=（0，0，-4）

OA1

+

OB1

+

OC1

+

OD1

=（-1，-1，1）+（1，-1，1）+（1，1，1）+（-1，1，1）=（0，0，4），∴③√；
∵

OA1

-

OA

=（-1，-1，1）-（-1，-1，-1）=（0，0，2），

OC

-

OC1

=（1，1，-1）-（1，1，1）=（0，0，-2）
∴④√；
故选C

点评：本题考查向量先关概念、向量的坐标表示及向量的坐标运算等知识，此类题利用坐标运算解决简单、明了．另外也可利用向量运算解决．