Question

20．设x、y、z均为正数，且3^x=4^y=6^z
（1）试求x，y，z之间的关系；
（2）求使2x=py成立，且与p最近的正整数（即求与P的差的绝对值最小的正整数）；
（3）试比较3x、4y、6z的大小．

Answer 1

分析 （1）令3^x=4^y=6^z=k，利用指对数互化求出x、y、z，由对数的运算性质求出$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$、$\frac{1}{z}$，由对数的运算性质化简$\frac{1}{z}-\frac{1}{x}$与$\frac{1}{y}$，即可得到关系值；
（2）由换底公式求出P，由对数函数的性质判断P的取值范围，找出与它最接近的2个整数，利用对数的运算性质化简P与这2个整数的差，即可得到答案；
（3）由（1）得3x、4y、6z，由于3个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这3个数大小关系．

解答 解：（1）令3^x=4^y=6^z=k，由x、y、z均为正数得k＞1，
则 x=log₃^k，y=log₄^k，z=log₆^k，
∴$\frac{1}{x}=lo{g}_{k}^{3}$，$\frac{1}{y}=lo{g}_{k}^{4}$，$\frac{1}{z}=lo{g}_{k}^{6}$，
∵$\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=lo{g}_{k}^{6}-lo{g}_{k}^{3}$=$lo{g}_{k}^{2}$，且$\frac{1}{y}=2lo{g}_{k}^{2}$，
∴$\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\frac{1}{2y}$；
（2）∵2x=py，∴p=$\frac{2x}{y}$=$\frac{2lo{g}_{3}^{k}}{lo{g}_{4}^{k}}$=$\frac{\frac{2lgk}{lg3}}{\frac{lgk}{lg4}}$=$\frac{2lg4}{lg3}$=2${log}_{3}^{4}$=log₃¹⁶，
∴2＜log₃¹⁶＜3，即 2＜p＜3，
∵p-2=log₃16-2=${log}_{3}^{\frac{16}{9}}$，3-p=3-log₃16=${log}_{3}^{\frac{27}{16}}$，
∵$\frac{16}{9}$-$\frac{27}{16}$=$\frac{13}{144}＞$0，∴$\frac{16}{9}＞\frac{27}{16}$，即${log}_{3}^{\frac{16}{9}}$＞${log}_{3}^{\frac{27}{16}}$，
∴与p的差最小的整数是3；
（3）由（1）得，3x=3log₃^k，4y=4log₄^k、6z=6log₆^k，
又x、y、z∈R⁺，∴k＞1，
$\frac{1}{3x}-\frac{1}{4y}$=$\frac{1}{3}lo{g}_{k}^{3}$-$\frac{1}{4}$$lo{g}_{k}^{4}$=${log}_{k}^{\frac{\root{3}{3}}{\root{4}{4}}}$=${log}_{k}^{\root{6}{\frac{9}{8}}}$＞0，
∴$\frac{1}{3x}＞\frac{1}{4y}$，则3x＜4y，
同理可求$\frac{1}{4y}-\frac{1}{6z}$=${log}_{k}^{\root{6}{\frac{3}{4}}}$＞0，则4y＜6z，
综上可知，3x＜4y＜6z．

点评 本题考查了对数的运算法则、换底公式、指数式与对数式的互化，考查了推理能力，化简、计算能力，属于中档题．